其实，1้0的幂次并不是什么神秘的东西。任何一个比一大的数的幂次都可以起到เ这样的效果。例如，假定我们现在想用8๖的幂来写出7๕291้这个数，这时应当记住
在任何一种这样的数学体系中，你都必定不可能ม根据它的公理推导出既是如此又非如此的结论，因为如果这样的话，这个ฐ数学体系就不可能ม不具有内在矛盾，就会遭到淘汰。
到了1้68๖7๕年，牛顿出版了他用拉丁文写的《数学原理》。根据大多数科学家的看法，这是自古以来第一部ຖ最伟大的著作。在这部著作中，他提出了他的物体运动三大定律，他的万有引力理论以及许多其他问题。他以严å格的希腊风格应用了数学，并以最完美的方式把各种现象联系在一起。凡是读过这部书的人，都不得不承认世界上终于出现了一位不但可与任何一个ฐ古代思想家并驾齐驱，甚至胜过他们的伟大思想家，不得不承认他所提出的宇宙图案不仅是无懈า可击十分完善的，而且从它的合理性和必然性方แ面来说，都大大胜过希腊文献中所提到的东西。
以上这些，正如我已经说过的，是一种理想的科学研究方法。但是在真正的实践中，科学工作者并不需要像做一套柔软体操那ว样一步一步地进行下去，而且他们通常也不这样做。
现在让我们进一步提出这样一个ฐ问题：－1的平方根是多少？
对于这个问题，我们感到有点为难。答案不是＋1，因为＋1้的自乘๖是＋1；答案也不是－1，因为－1้的自乘同样是＋1้。当然，（＋1）x（－1้）＝（－1），但这是两个ฐ不同的数的相乘๖，而不是一个数的自乘。
这样，我们可以创造出一个数，并给它一个专门的符号，譬如说＃1้，而且给它以如下的定义：＃1้是自乘๖时会得出－1的数，即（＃1）x（＃1）＝（－1้）。当这种想法刚提出来时，数学家都把这种数称为“虚数”这只是因为这种数在他们所习惯的数系中ณ并不存在。实际上，这种数一点也不比普通的“实数”更为虚幻。这种所谓“虚数”具有一些严å格限定的属性，而且和一般实数一样，也很容易处理。
但是，正因为数学家感到这种数多少有点虚幻，所以给这种数一个ฐ专门的符号“i”(imaginary)。我们可以把正虚数写为（＋i），把负虚数写为（－i），而把＋1้看作是一个正实数，把（－1）看作是一个负实数。因此我们可以说√￣（－1）＝±i。
实数系统可以完全和虚数系统对应。正如有＋5๓，－1้7．3๑2๐，＋3／1้0等实数一样，我们也可以有＋5๓i，－17๕．32๐i，＋3๑i／1้0่等虚数。
我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。
假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个ฐ正实数系统，那ว么，位于0点某一侧的是正实数，位于0่点另一侧的就是负实数。
这样，当你通过0่点再作一条与该直线直角相交的直线时，你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直线上0่点的一侧的数是正虚数，0่点另一侧的数是负虚数。这样一来，同时使用这两ä种数系，就可以在这个平面上把所有的数都表示出来。例如（＋2๐）＋（＋3๑i）或（＋3）＋（－2๐i）。这些数就是“复数”
数学家和物理学家发现，把一个平面上的所有各点同数字系统彼此联系起来是非常有用的。如果没有所谓虚数，他们就无法做到这一点了。